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皮亚诺公理
皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

①1是自然数;

②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);

③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b = c;

④1不是任何自然数的后继数;

⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性)

若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。

更正式的定义如下:

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(x, x, f):

x是一集合, x为x中一元素,f是 x 到自身的映射

x 不在 f的值域内.

f 为一单射.

若a 为x的子集并满足:

x属于 a, 且

若 a 属于 a, 则 f(a) 亦属于 a

则 a = x.

该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1.p(自然数集)不是空集
2.p到p内存在a->a直接后继元素的一一映射
3.后继元素映射像的集合是p的真子集
4.若p任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与p重合.
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据.
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