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奥高公式
一、基本概念
1、第一型曲面积分的定义
设是空间中可求面积的曲面,为定义在上的函数。把分割为n个小曲面i(s),,(zyxfsssni,,1l=)
,以记小块曲面的面积,分割t的细度isΔ{}的直径inist≤≤=1max,在上任取一点)is,,iiiςηξ((ni,,1l=),若极限 iniiiitsfΔ∑=→10),,(limςηξ
存在,且与分割t与),,iiiςηξ(()的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲面积分,记作。 ni,,1l=),,(zyxfs∫∫sdszyx,( f , )
2、第一型曲面积分的计算
定理1 设有光滑曲面:,s),(yxzz=dyx∈),(,为上的连续函数,则 ),,(zyxfsdxdyzzyxzyxfdszyxfdyxs∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(
3、第二类曲面积分的计算
定理2 设r是定义在光滑曲面:,上的连续函数,以的上侧为正侧(这时的法线方向与轴正向成锐角),则有 s),(yxzz=xydyx∈),(ssz
dxdyyxzyxfdszyxfxyds∫∫∫∫=)),(,,(),,(
4、gauss公式
定理3 设空间区域v由分片光滑的双侧封闭曲面围成。若函数sp,q,r在v上连续,且有一阶连续偏导数,则: ∫∫∫∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂svrdxdyqdzdxpdydzdxdydzzryqxp)(
其中取外侧。 s
5、stokes公式
定理4 设是 r3中的光滑曲面,的边界ssl是了按段光滑的连续曲线。若函数p,q,r在v上连续,且有一阶连续偏导数,则: ∫∫∂∂∂∂∂∂srqpzyxdxdydzdxdydz = 。 ∫∂++drdzqdypdx
二、基本方法
1、利用dxdyzzyxzyxfdszyxfdyxs∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(和两个公式计算第一型和第二型曲面积分; dxdyyxzyxfdszyxfxyds∫∫∫∫=)),(,,(),,(
2、利用gauss公式计算三维积分;
3、利用stokes公式计算曲面积分。
三、基本要求
1、掌握求第一型和第二型曲面积分的方法;
2、会用gauss公式和stokes公式计算曲面积分。
四、典型例题
例1 求,其中是上半球面,。 ∫∫++sdszyx)(s2222azyx=++0≥z
解 根据对称性,==0,只要计算即可。由∫∫sxds∫∫syds∫∫szds222yxaz−−=,222yxaxzx−−−=,222yxayzy−−−=,所以。 3222)(adxdyadszyxayxsπ==++∫∫∫∫≤+
例2 计算,其中是以原点为中心,边长为2的立方体表面并取外侧为正向。 ∫∫+++++sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(s
解 分析:观察积分结构及曲面的图形知,szyx、、两两对称,由对称性知,只需计算其中之一即可。
由 ∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=+11111111)1()1()(dzydydxydydydzyxs
8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy
故=∫∫+++++sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×=。 24
例3 证明:若为封闭曲面,为任何固定方向,则sl0),cos(=∫∫sdsln,其中为曲面外法线方向。 ns
证 设n和l的方向余弦为αcos,βcos,γcos和,,,则++,所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=ssdsln(),cos('coscosαα++) 'coscosββ'coscosγγdsdxdydzdxdydzs'''coscoscosγβα++=∫∫外
又因l的方向固定,,,都是常数,故'cosα=p'cosβ=q'cosγ=r0=∂∂+∂∂+∂∂zryqxp,由奥高公式,
原式∫∫∫∫∫=++=vsrdxdyqdzdxpdydz(zryqxp∂∂+∂∂+∂∂)dxdydz0=。
五、自测题
1.利用高斯公式求下列积分:
1) 222sxdydzydzdxzdxdy++∫∫,其中
(a) 为立方体0,s,xyza≤≤的边界曲面外侧;
(b) 为锥面s222(0)xyzzh+=≤≤,下侧.
2) 333sxdydzydzdxzdxdy++∫∫,其中是单位球面的外侧; s
3)设是上半球面s22zaxy=−− 2的上侧,求
(a) sxdydzydzdxzdxdy++∫∫,
(b) ()()22222sxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy+−++∫∫;
4) ()()()222222sxyzdydzyzxdzdxzxydxdy−++−++−+∫∫,是 s
()()()2222xaybzc−+−+−=r的外侧.
2. 用斯托克斯公式计算下列积分:
1) ∫++l32zdzdydxyx,其中
(a) l为圆周,方向是逆时针, 222,xyaz+==0
(b) l为所交的椭圆,从轴正向看去,按逆时针方向; 221,yzx+==y x
2) ∫−+−+−l)()()(dzyxdyxzdxzy,其中l是从(),0,0a经()0,,0a至()0,0,a回到(),0,0a
三角形;
3) ∫+++++l222222)()()(dzyxdyxzdxzy,其中
(a) l为1xyz++=与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法则,
(b) l是曲线,它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则; 222222,2(0,0)xyzrxxyrxrrz++=+=<<>
4) ∫++lxdzzdyydx,l是,从轴正向看去圆周是逆时针方向. 2222,0 x +y +z =a x+y+z= x
3.计算高斯积分
()2cos,sdsrrn∫∫
其中为简单封闭光滑曲面,为曲面上在点sns(),,ξηζ处的外法向,()()(),xyzrrijkrξηζ=−+−+−=.试对下列两种情形进行讨论:
1) 曲面包围的区域不含s(),,xyz点;
2) 曲面包围的区域含(s),,xyz点.
4.求证:()dsnrrdxdydzsv∫∫∫∫∫=,cos21,其中是包围v的分片光滑封闭曲面,为的外法线方向.snsr=(),,xyz,rr=.分下列两种情形讨论:(1) 中不含原点(0,0,0);(2) 中含原点(0,0,0)时,令vvlim0vvvdxdydzdxdydzrrεε−=+→∫∫∫∫∫∫,其中vε是以原点为心,以ε为半径的球.
5.利用高斯公式变换以下积分:
(1) sxydxdyxzdzdxyzdydz++∫∫;(2) coscoscossuuudsxyzαβγ⎛⎞∂∂∂++⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫,
其中cosα,cosβ,cosγ是曲面的外法线方向余弦.
6.设是具有二阶连续偏导数的函数,并设()(,,,uxyvxy)
2222uuuxy∂∂Δ=+∂∂.
证明 luudxdydsnσ∂Δ=∂∫∫∫。其中σ为闭曲线所围的平面区域,l,uvnn∂∂∂∂为沿l外法线的方向导数.
7.设222222,uuuuxyz∂∂∂Δ=++∂∂∂
s 是v的边界曲面,证明:
(1) vsuudxdydzdsn∂Δ=∂∫∫∫∫∫;
(2) 222svvuuuuudsdxdydzuudxdydznxyz⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++Δ⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫.
式中u在v及其边界曲面上有连续的二阶偏导数,sun∂∂为沿曲面的外法线的方向导数. s
8.计算下列曲面积分:
(1) ()()()22222sxydydzyzdzdxzyxdxdy−+−+−∫∫,其中是s2222221xyzabc++= 下侧; (0z≥ )
(2) ()()()coscoscos,sxydydzyzdzdxzxdxdys+++++∫∫是立体Ω的边界面,而立体Ω由1xyz++=和三坐标面围成;
(3) sdsfn⋅∫∫,其中333,xyzfijk=++ n是的外法向,s为s2222 x +y+z =a (z ≥0) 上侧;
(4) 3333233222,sxyzyzdydzzxdzdxxydxdysabc⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫是2222221xyzabc++= 后侧. (0x≥ )
9.证明由曲面所包围的体积等于 s()1coscoscos3svxyzαβγ=++∫∫ ds
式中cosα,cosβ,cosγ为曲面的外法线的方向余弦. s
10.设有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面,有 ,,pqrs
0spdydzqdzdxrdxdy++=∫∫
证明0pqrxyz∂∂∂++=∂∂∂.
11.设在全平面上有连续偏导数,而且以任意点()(,,,pxyqxy) ()00,xy为中心,以任意正数为半径的上半圆l:r00cos,sinxxryyrθθ=+=+ (0)θπ≤≤,恒有
()(),,lpxydxqxydy 0 +=∫
求证:(),0,qpxy 0
x∂≡≡∂.
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