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代数基本定理
n次复系数多项式在复数域上至少有一根(n≥1)
由此推出,n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根,重根按重数计算.

此定理最初为gauss所证,现有200多种证法,下举出一个常用的证明:


在证明之前,要先引入3个引理:

引理 1 每个奇数次实系数多项式必有实根。(这一事实从连续函数的中值定理得出)

引理 2 复系数二次多项式的根均是复根。

引理 3 每个次数>0的实系数多。



证明:设g(x)∈r[x], deg g(x)=d>0。d=2nq, 2łq, n≥0.我们对n作数学归纳法。如果n=0,则g(x)为奇次实系数多项式。由引理1可知它有复根。下设n=n0≥1,并且对n比n0小的情形引理3成立。令x1, x2, …, xd为g(x)在r的适当的扩域的全部根(g(x)的分裂域总存在,但不知道含于c)。我们的目标是证明必有某个xi∈c。

   为证此,取任意一个实数c。令 yij=xi+xj+cxixj(1≤ i≤j≤ d).

一共有d(d+1)/2个yij . 又令

  g(x)=∏1≤ i≤j≤ d  (x-yij)=xm+g1(x1,…, xd)xm-1 +…+gm(x1,…, xd),

m=2n-1q (d+1).

  不难看出,每个gi(x1,…, xd)均是x1,…, xd的实系数对称多项式,从而gi(x1,…, xd)∈r[σ1,…, σd],其中σ1,…, σd为x1,…, xd

的初等对称多项式。但是g(x)=xd-σ1xd-1 +σ2xd-2-…+(-1)dσd ∈r[x], 从而σ1, σ2, …,σd∈r。 于是gi(x1,…, xd)∈r (1≤i≤m). 从而g(x)∈r[x]. 由于n≥1, 从而2| d=2nq, 于是2† (d+1)q,而 deg g(x)= 2n-1q(d+1). 由归纳假设知道g(x)有复根z0. 换句话说,我们有i(c) 和j(c)(均与有关),使得

yi(c), j(c)=xi(c)+xj(c)+cxi(c)xj(c)=z0∈c.

由于指标集{(i,j)}是有限的,而实数c可任意选取,从而必然存在c≠c’,c,c’∈r, 使得

i(c)=i(c’), j(c)=j(c’). 令它们分别为r和 s, 于是得到

xr+xs+cxrxs=z0∈c, xr+xs+c’xrxs=z1∈c.

由此及 c≠c’,c,c’∈r, 可知xr+xs∈c, xrxs∈c. 于是 h(x)=x2-( xr+xs)x+ xrxs∈c[x]. 根据引理2,h(x)的两个根xr和xs均是复数根,这就证明了存在某个i,使得xi∈c. □



   最后我们来证明代数基本定理:设f(x)=∑0≤i≤n cixi∈c[x], deg f ≥1. 记 f(x)=∑0≤i≤n cixi∈c[x],,其中ci 表示ci的共轭复数. 令g(x)=f(x) f(x) ∈r[x]。根据引理3,存在α∈c,使得g(α)=0. 于是α为f(x) 或f(x)的根。如果α为f(x)的根, 则证明完毕. 如果α为f(x)的根, 则共轭复数α为f(x)的根. 这就证明了代数基本定理.
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