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猜想
猜想是不知其真假的数学叙述,它被建议为真,暂时未被证明或反证。

当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)。

某些猜想会称为“假设”,尤其是当它是针对某些问题提出的答案。

不能决定的猜想

并非所有的猜想都能解决。连续统假设已被显示为不能决定(或独立)于集合论公理体系。可以将此陈述或其反例作为一个新的体系而保持一致。(例如我们可以视平行公理或真或假)。

在这个情况,如果某个证明使用了这个陈述,研究者通常会找寻另一个不须假设的解(同样道理,想象一件诱人的事情——欧几理德几何的陈述可以只用中立几何的公理来证明,那就是没有平行公理)。除非是专注研究这个公理,研究者通常不必担心结果要不要选择公理。

从命题的题设出发,经过逐步推理,来判断命题的结论是否正确的过程,叫做证明。

要证明一个命题真命题,就是证明凡符合题设的所有情况,都能得出结论。要证明一个命题是假命题,只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题,一般步骤如下:

(1)按照题意画出图形

(2)分清命题的条件的结论,结合徒刑,在“已知”一项中写出题设,在“求证”一项中写出结论;

(3)在“证明”一项中,写出全部推理过程。
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