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柯西积分定理
复变函数论的核心定理 。 它讨论一个区域d上的复函数在什么条件下在d上积分与路径无关 , 最简单的柯西积分定理的形式为:当d是单连通区域 ,而f(z)是d上的解析函数时,以下3个互相等价的结论成立 : ① f(z) 在d内沿任意可求长曲线积分与路径无关。②f( z )在 d内沿任意可求长闭曲线积分为零。③f(z )在d上有原函数 。 如果在连续函数类中讨论,则以上定理还是可逆的。柯西定理有以下常用的变化的形式 :①d 是由几条简单光滑闭曲线围成的有界区域,记l=d,f(z)在d上解析,在image:柯西积分定理1.在dul上连续,则必有
②在上述条件下 ,若 l=l0+…+l即d由l0,,…,l所围成,

  作为柯西积分定理的应用,有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式:f(z)在上连续 ,在d内解析的充要条件是。
。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具,首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ,从而证明了 a.-l.柯西与k.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性 ,其次证明了解析函数是无限次可微的,从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链 积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.
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