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纤维丛
纤维丛理论

1946年美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论


数学上,特别是在拓扑学中,一个纤维丛(fiber/fibre bundle)是一个局部看来像两个空间的直积的空间,但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛有个连续满射

π?: e → b

使得e对于某个f (称为纤维空间)局部看来象直积空间

b × f

(这里局部表示在b上局部。) 一个可以整体上如此表达的丛(通过一个保持π的同胚)叫做平凡丛。丛的理论建立在如何用一些比这个直接的定义更简单的方法表达丛不是平凡丛的意义的问题之上。

纤维丛扩展了矢量丛,矢量丛的主要实例就是流形的切丛。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

形式化定义

一个纤维丛由四元组(e, b, π, f)组成, 其中e, b, f是拓扑空间而π?: e → b是一个 连续满射,满足下面给出的局部平凡条件。b称为丛的基空间,e称为总空间,而f称为纤维。映射π称为投影映射.下面我们假定基空间b是连通的。

我们要求对于b中的每个x,存在一个x的开邻域u,使得π?1(u)是同胚于积空间u × f的, 并满足π 转过去就变成到第一个因子的投影。也就是一下的图可交换:

其中proj1?: u × f → u是自然投影而φ?: π?1(u) → u × f是一个同胚。所有{(ui, φi)}的集合称为丛的局部平凡化。

对于b中每个x,原象 π?1(x) 和f同胚并称为x上的纤维.一个纤维丛(e, b, π, f)经常记为

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维从π?: e → b 都是一个开映射,因为积空间的投影是开映射。所以b 有由映射π决定的商拓扑.

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是,e, b, f都必须是光滑流形而所有上面用到的函数都必须是光滑映射。这是纤维丛研究和使用的通常环境。

例子

令e = b × f 并令π?: e → b为对第一个因子的投影,则e是b上的丛.这里e不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛.

莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带(m?bius strip). 莫比乌斯带是一个以圆为基空间b并以线段为纤维f的丛。对于一点 的邻域是一段圆弧;在图中,就是其中一个方块的长。原象π ? 1(u)在图中是个 (有些扭转的)切片,4个方块宽一个方块长。同胚φ把u的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转.

相应的平凡丛b × f看起来像一个圆柱, 但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来;局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样(在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间).

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶,它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环, s1 × s1.

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例,叫做矢量丛,是那些纤维为矢量空间的丛(要成为一个矢量丛,丛的结构群—见下面—必须是一个线性群)。矢量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n-球的纤维丛。给定一个有度量的矢量丛(例如黎曼流形的切丛),可以构造一个相应的单位球丛,其在一点x的纤维是所有ex的单位矢量的集合.

截面

纤维丛的截面 (section 或者 cross section)是一个连续映射f?: b → e使得 π(f(x))=x 对于所有b中的x成立。因为丛通常没有全局有定义的截面,理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的特征类理论。

截面经常只被局部的定义(特别是当全局截面不存在时)。纤维丛的局部截面是一个连续映射f?: u → e 其中 u 是一个b中的开集而π(f(x))=x 对所有u中的x成立。若(u, φ)是一个局部平凡化图,则局部截面在 u上总是存在的。这种截面和连续映射u → f有1-1对应。截面的集合组成一个层(sheaf)。

结构群(structure groups)和转换函数(transition functions)

纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的兼容条件。特别的,令g为一个拓扑群,它连续的从左边作用在纤维空间f上。不失一般性的,我们可以要求g有效的作用在f上,以便把它看成是f的同胚群。丛的一个g-图集(e, b, π, f)是一个局部平凡化,使得对任何两个重叠的图(ui, φi)和(uj, φj) 函数

可以这样给出:

其中 是一个称为变化函数的连续映射。两个g-图集等效如果他们的并也是一个g-图集。一个g-丛是一个有g-图集等价类的纤维丛。群g成为该丛的结构群.

在光滑范畴中,一个g-丛是一个光滑纤维丛,其中g是一个李群而相应的在f上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

变换函数tij满足以下条件

tii(x) = 1

tij(x) = tji(x) ? 1

tik(x) = tij(x)tjk(x)

这三个条件用到重叠的三元组上叫做余链条件cocycle condition (见?ech 上同调).

一个主丛 是一个g-丛,其纤维可以认为是g本身,并且有一个在全空间上的g的右作用保持纤维不变。
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