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同伦
代数拓扑的最基本概念。
两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个,那么就称这两个拓扑空间同伦。

定义:
  设x和y都是拓扑空间,f和g是x到y的连续映射。如果存在连续映射h:x×I→y,使得对任何x∈x,h(x,0)=f(x),h(x,1)=g(x),则称f与g同伦,并称h是连接f和g的一个同伦。这里I=[0,1]。
  如果存在连续映射f:x→y和g:y→x,使得g·f与恒同映射idx:x→x同伦,f·g与恒同映射idy:y→y同伦,则称x与y同伦等价。称f和g是同伦等价映射,g是f的一个同伦逆。

在同伦变换下保持不变的性质,就称为同伦不变量。 比如亏格(洞眼的个数),欧拉示性数等等。  但是维数就不是同伦不变量。


拓扑学家中流传着这么一句俏皮话:“一个拓扑学家分不清面包圈和咖啡杯的差别。”
这是因为两者是同伦的,即面包圈可以连续形变成咖啡杯

施瓦辛格主演的科幻电影终结者2》里面那个液态机器人杀手,它的每次变化都可以视为同伦变换。 但那次被施瓦性格用枪打爆脑袋不能算同伦变化, 因为这不是连续地形变。
同伦是关于映射的等价关系,同伦等价才是关于空间的等价关系。最后举的两个例子更适合在同胚的概念中提及,在此处提虽然从逻辑上讲没错,但也容易让初学者混淆。 建议举不同伦的例子如下:两个映射,一个是圆周到自身的恒同映射,另一个则是自变量在圆周上转一圈时相应的映射的值在圆周上转两圈。举同伦等价的例子如下:“日”字和“8”字。

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