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联络
联络的概念是微分几何中最基本的核心概念之一。 它是一种类似“导数”的东西。

数学分析里, 导数的概念可以用来衡量一个函数随着自变量的增长而变化得有多快。在物理或几何中, 我们考虑的函数, 其像元素不一定是数值, 而可以是向量--即所谓的向量函数; 更一般的, 函数的像元素可以是张量, 即张量函数。 函数的取值只依赖于它在空间中的点的位置, 而和空间的坐标选取无关。

当我们谈论导数的时候, 实际上隐含假设了一个前提条件:我们总是考虑欧氏空间中的函数的变化快慢。 因为在欧几里的空间中, 函数对应的像元素总是可以自由地在空间中平行移动,所以我们才可以定义无穷小的运动的概念, 由此则可以自然地产生导数的概念。

但是在我们的宇宙中, 大部分的空间都不是欧氏空间, 也就是说不是平直的空间; 实际上, 大多数空间因为引力作用,都是弯曲的。 这样一来, 函数的像元素(最常见的就是向量)就不可能自由地在空间中移动--一个微小的运动足以让它飞离原来的空间。 因此按常规方式很难再定义导数。

为了解决这个问题, 人们发明了联络的概念。 联络本质上说, 就是衡量弯曲空间中函数的变化快慢的量, 它是弯曲空间中定义的一种类似“导数”的东西。

有了联络之后, 我们可以衡量空间中一个向量场(比如电磁场、热流场)在每个点附近的变化快慢。 一般说来, 一个空间中可以定义很多种不同的联络。

黎曼几何学告诉我们,在黎曼流形上, 和黎曼度量相容的联络是唯一存在的, 即黎曼联络。
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