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真子集
目录 ·名称定义
·举例
·真子集和子集的区别
·子集、真子集与非空子集的计算


名称定义
如果a是b的子集,并且b中至少有一个元素不属于a,那么集合a叫做集合b的真子集,空集是任何非空集合的真子集  。

举例
如果集合 a 的所有元素同时都是集合 b 的元素,则 a 称作是 b 的子集,写作 a ⊆ b。若 a 是 b 的子集,且 a 不等於 b,则 a 称作是 b 的真子集,写作 a ⊂ b。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
{1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
空集是所有集合的子集,而所有集合都是其本身的子集:
<math>\varnothing</math> ⊆ a
a ⊆ a

真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的元素全部都是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等


子集、真子集与非空子集的计算
若集合a有n个元素,则集合a的子集个数为2^n(即2的n次方),则有2^n-1个真子集,则有2^n-2个非空真子集

证:设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中,0表示元素i不在集合中。
00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]
一共有2^n个数,因此对应2^n个子集,去掉11...1(即全1,表示原来的集合a)则有2^n-1个真子集,再去掉00...0(即全0,表示空集)则有2^n-2个非空真子集
比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3
111 <--> {a, b, c} --> 即集合a
110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 <--> { , , c}
000 <--> { , , } --> 即空集


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