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变分法
目录 ·名称定义
·变分法的定理
·数学物理与变分法
·大范围变分法
·《变分法》教学大纲


名称定义
变分法(calculus of variations)是处理函数的函数的数学领域,和处理数的函数的普通微积分相对。譬如,这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点a到达不直接在它底下的一点b。在所有从a到b的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的定理
变分法的关键定理是欧拉拉格朗日方程。它对应于泛函临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。

变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有,黎曼调和函数中使用狄利克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,莫尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工,称为plateau问题。

最优控制的理论是变分法的一个推广。

数学物理与变分法
 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展,而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
  物理学中的变分原理  p.de费马欧几里得确立的光的反射定律出发提出了的最小时间原理:光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律,但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律,不仅消除了早先的怀疑,而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn,假定动能t是 q=(q1,q2,…,qn)和宲=(宲1,宲2,…,宲n)的函数,宲表示。他又假定力有位势v,v是q的函数,又假定t+v是常量,即能量守恒定律成立,令l=t-v,称为作用量,拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程,拉格朗日建立他的运动方程,据此推出了力学的主要定律,并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。

大范围变分法
18世纪是变分法的草创时期,建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去,建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始,希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关,变分法的思想贯穿了r.库朗希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而h.m.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。

《变分法》教学大纲
《变分法》教学大纲
课程编码:07141001
课程名称:变分法
英文名称:calculus of variations
开课学期:第6学期
学时/学分:30/1.5 (其中实验学时:0学时)
课程类型:学位基础选修课
开课专业:机械科学与工程学院 工程力学专业
选用教材:讲稿
主要参考书:《弹性力学》 徐芝纶编著 高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》 鹫津久一郎著
《广义变分原理》 钱伟长
执笔人:周振平
课程性质、目的与任务
《变分法》是工程力学专业本科生的专业课之一,是选修课,是《弹性力学》课程提高和延伸部分。用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题,建立了弹性力学的几个变分原理,从这些变分原理出发,用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。变分原理为各种近似解奠定了理论基础,是从事固体力学研究人员必备的专业理论,为进一步学习有限元理论,塑性力学等提供了必要的理论基《变分法》教学大纲
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