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无限小数
目录 ·名称定义
·为什么一定要有无限小数?
·分数为什么能化成有限小数或无限循环小数?
·为什么要有无限不循环小数
·无限小数是什么意义
·有关无穷小与阿基米德公理的问题


名称定义
小数的一种,内部包含循环小数(有循环节,如:0.123123……,123就是循环节,循环符号用点表示,在循环节的首尾数字上各点一个点.)

为什么一定要有无限小数?
  我们学过,实数是由有理数和无理数组成的,整数和分数统称有理数,它们是有限小数和无限循环小数,而把无限不循环小数叫做无理数。这是初中课本上的定义。从这个定义中我们可以看出,任何一个实数,都可以用十进制小数(不管是有限的还是无限的)表示出来。
  后来,我们又知道,实数和数轴上的点是一一对应的。也就是说,我们的实数是可以表现任意一条线段的长度的,并且同一条线段只有一个长度。
  但是,课本上的这几句话,仍然让我们感到糊涂,有理数(即有限小数和无限循环小数)到底和无理数有什么不同?为什么把它们区分开?还有,无限小数到底是什么意思?数轴上的点为什么就可以和十进制小数对应呢?怎么对应的呢?我们慢慢来看。
  我们的实数必须要满足我们表示长度的需要。因此,数轴上的每一个点都应该对应于唯一的一个实数。
  把直线用通常的方法标出0,1,2……这些整数点来,这就是我们的数轴了。这样,如果哪一个点正好落在某个整数点上,我们就可以用这个整数表示这个点。但是,其它的点如何表示呢?比如,0和1之间的中点。我们发现,把0与1之间的线段(以下简称01线段)分成10份,这个点恰好就会落到第五个分点上。那么,我们就把它记为0.5好了。01线段的四等分点呢?我们还把01线段10等分,但是却发现这个点仍然不会落在这些10等分点上,它落在第二分点(暂时记为 a)和第三分点(暂时记为 b)之间。现在,我们把刚才分好的每个线段再分成10份,这相当于把01线段100等分了。我们发现,我们要找的点正好落在了线段ab上的第5个分点上,即01线段第25个一百等分点上。那么,我们把它记为0.25。
  现在我们考虑,有没有那样的点,不论我们把01线段怎么10等分,100等分,1000等分,100000000等分,…,它就是不落在任何一个分点上?有的。比如,01线段的3等分点。我们把01线段十等分,它落在了第三、四两个分点之间,再把这个小线段10等分,它仍然在第三、四两个分点之间,…,每次十等分,它都在第三、四分点之间。那么我们只好用一个无限小数来表示这个点了:0.333…。(其中的3是指过了第三个分点但没到第四个分点。注意:这个无限小数表示的是三等分点,而不是我们得到的那些十、百、千等分点。所以0.333…精确地等于1/3.要不然1/3将无法用十进制小数表示。)这就是十进制小数表示直线上的点的原理。

分数为什么能化成有限小数或无限循环小数?
  无限循环小数化成分数的方法很多人都理解了,但是要问起为什么分数一定可以化成无限循环小数,就不是所有人都知道了。
  其实也不难。这只要想想我们通常是怎么把一个分数q/p化成了小数的。我们通常用分子除以分母,除不尽时把余数添零,即把余数扩大十倍然后继续除。而在做除法时我们有一个原则,那就是每一步的余数必须要比除数小。那么,如果一个除法永远也除不尽的时候,就会无限次出现余数。在任意连续的p+1个余数中,必然有两个余数是相等的。(因为这p+1个正整数都比p小),相等的余数会导致相等的商,这样余数和商就周期性重复出现了。
  因此,分数就是有限或无限循环小数,有限或无限循环小数也是分数。

为什么要有无限不循环小数
分数都是有限或无限循环小数。那么现在我们要问的是,无限不循环小数是些什么样的数呢?为什么把它们叫做无理数?
  还是考虑数轴。我们现在发现,刚才讨论的1/3点,虽然我怎样用十等分的办法,它都不会落在分点上。但是,如果我把01线段3等分,分一次它就落在分点上了。(因此,1/3虽然用十进制不能表示成有限小数,但用3进制就可以是有限的了:三进制的0.1恰好就是1/3。)同样,1/p点,如果把01线段分成p等分,它就落在第一个分点上,它用p进制就可以表示成0.1。
  那么现在考虑,是否有那样的点,不论我们把01线段几等分,它都不会落在分点上?也就是说,是否在数轴上有那么一些点,我们不可以把它写成q/p这样的分数?我们想到圆周率,它是无限不循环的,肯定不能表示成分数。但是,要想证明它是无限不循环小数,还需要很多知识。现在举一个初中生熟悉的例子:2的算术平方根(即根号2,边长为1的正方形对角线的长)它就不能被写成分数。为什么呢?因为如果它能写成p/q,p、q互质,那么因为2的平方根不是整数,所以q不为1。而且p^2/q^2(^2表示平方)就应该是整数2。但是,原来互质的两个数,平方之后仍然互质,q^2不可能被约分成1,因此p^2/q^2也不可能等于2。
  有限或无限循环小数都要么是整数要么是分数,那么像2的平方根这样的数,就只能是无限不循环的了。把它称作无理数,是因为不能表示成分数。

无限小数是什么意义
  刚才我们说的都是数轴上的点如何用小数来表示。我们也得到了结论:数轴上任何点都能找到对应的小数表示。现在,我们要问,随便拿一个无限小数,我们怎样在数轴上找到和它对应的点?
  按第一部分的分析,我们举一个无理数的例子:比如说,3.1415926535897……(圆周率),它表示数轴上哪个点呢?
  它应该表示这样一个“确定的点”(确定的点,这很重要):它在整数3与4之间(即大于等于3小于等于4);如果把34线段十等分,它应该在第一、二分点之间(大于等于3.1小于等于3.2),如果把3.1 3.2之间线段十等分,它在第四和第五分点之间,等等…
  现在我们担心,在数轴上可不可能有两个点同时可以用同一个无限小数表示?不能。因为如果有两个点a和b同时能用圆周率的小数表示,那么,线段ab的长度是多少呢?a、b是不同的点,因此ab长度不能是0。在几何中,有一条公理叫“阿基米德公理”,说任意两条线段a,b,不论a有多短,b有多长,把a延长若干倍之后,长度一定会超过b。比如,1米长的线段和一千米长的线段,把1米长的线段延长10000倍就比一千米长的线段长了。现在,我们看ab这条线段,我把34线段十等分,它们俩同在一二分点之间,应有 ab<=1/10,因此10ab<=1;把3.1 3.2之间线段十等分,它们也同在第四和第五分点之间,因此应该有ab<=1/100,因此100ab<=1;……也就是说,不论我们把ab延长多少倍,长度都不会比1大。这和阿基米德公理是矛盾的。那么只能说明ab=0,a与b是同一个点。
  那么,是不是随便拿来一个无限小数都能在数轴上找到和它对应的点呢?答案也是肯定的,这一部分也涉及很多知识,不在这里讨论。以后我可能还会写一篇《给中学生和大学生们讲实数的定义》。
  罗嗦这么半天,终于来到某些人关心的问题了:0.9(9循环)这个数是否等于1?按这个无限小数的意义,我们要找一个点,如果把01线段10等分,它在第九分点和1之间,如果再把这一小段再10等分,它仍在第九分点和1之间……
  哪一点满足这个条件呢?显然1就满足这个条件。除此之外还有其它满足条件的点吗?刚才说了,这样的点只有一个。因此0.9(9循环)在数轴上对应的点就是1。
  因此,虽然是同一个点,但把它表示成十进制小数时,表示方法却不唯一。在讨论十进制小数时,我们通常把都是9的循环节去掉,只用进一位的有限小数。所以0.9(9循环)这样的十进制小数是没有存在的必要的,它和1表示的是同一个实数。
  去掉不必要的小数,我们就可以说,数轴上的点和无限小数一一对应。 

有关无穷小与阿基米德公理的问题
  可能有人还是不承认,他们可能会说,为什么“阿基米德公理”是正确的?0.0…1无限个0后面有一个1,把它放大多少倍都不会大于1。
  如果你这么反驳我,我也没办法说服你。但我可以肯定地告诉你,你所讨论的问题已经不是欧氏几何和实数了。在数学上确实有不等于零的无穷小常量(即它是个正的“常数”,而且比任何正实数都小,却不等于0),那就是非标准分析里的无穷小。但这个无穷小不是我们讨论的实数。
  因此,只有满足一些公理的对象,我们才把它们称作实数,才把它们称作欧氏几何。阿基米德公理在我们的讨论范围内是正确的,只因为它是公理。
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