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正五边形尺规作图
【尺规作图的简介】
 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么,画一个圆又不知道它的半径,画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大,比如单用圆规找出一个圆的圆心,量度一个角的角度,等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角,十分方便。
 尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。
 平面几何作图,限制只能用直尺、圆规。在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。他发现以下作图法:在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。在这以前,许多作图题是不限工具的。伊诺皮迪斯以后,尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。
 若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家underwood dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。
■尺规作图的基本要求
·它使用的直尺和圆规带有想像性质,跟现实中的并非完全相同:
·直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度。
·圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。
■五种基本作图
·作一个角等于已知角
·平分已知角
·作已知直线的垂直平分线
·作一条线段等于已知线段
·过一点作已知直线的垂线
■尺规作图公法
 以下是尺规作图中可用的基本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法:
·通过两个已知点可作一直线。
·已知圆心和半径可作一个圆。
·若两已知直线相交,可求其交点。
正五边形尺规作图

·若已知直线和一已知圆相交,可求其交点。
·若两已知圆相交,可求其交点。

【尺规作图的著名问题】
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题:
■三等分角问题:三等分一个任意角;
■倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;
■化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积。
 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的。直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
 还有另外两个著名问题:
■正多边形作法
·只使用直尺和圆规,作正五边形。
·只使用直尺和圆规,作正六边形。
·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的。
·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的。
·问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边·形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题。·
■四等分圆周
 只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战。
【尺规作图的相关延伸】
 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
■只用直尺及生锈圆规作正五边形
■生锈圆规作图,已知两点a、b,找出一点c使得ab = bc = ca。
■已知两点a、b,只用半径固定的圆规,求作c使c是线段ab的中点。
■尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达。
 10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。 1672年,有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出!。
【尺规作图所推动的】
 由词条以上内容可以看出,几何三大问题如果不限制作图工具,便很容易解决.从历史上看,好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品,特别是开创了对圆锥曲线的研究,发现了一批著名的曲线,等等.不仅如此,三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.







正五边形的画法]
(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:
①作线段ab等于定长l,并分别以a,b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k.


③以 c为圆心,已知边长 ab为半径画弧,分别与前两弧相交于m,n.
④顺次连接a,b,n,c,m各点即近似作得所要求的正五边形.
(2) 圆内接正五边形的画法如下:
①以o为圆心,定长r为半径画圆,并作互相垂直的直径mn和 ap.
② 平分半径on,得ok=kn.
③以 k为圆心,ka为半径画弧与 om交于 h, ah即为正五边形的边长.
④以ah为弦长,在圆周上截得a,b,c,d,e各点,顺次连接这些点即得正五边形.
3.民间口诀画正五边形
口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."
作法:
画法:
1.画线段ab=20mm,
2.作线段ab的垂直平分线,垂足为g.
3.在l上连续截取gh,hd,使 gh=5.9/5*10mm=19mm,
hd=5.9/5*10mm=11.8mm
4.过h作ec⊥cg,在ec上截取hc=he=8/5*10mm=16mm,
5.连结de,ea,ec,bc,cd,
五边形abcde就是边长为20mm的近似正五边形.


这里提供以下两种作法仅供参考:
1、已知边长作正五边形的近似画法如下: (1)作线段ab等于定长l,并分别以a、b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k. (2)以k为圆心,取ab的2/3长度为半径向外侧取c点,使ch=2/3ab (3)以 c为圆心,已知边长 ab为半径画弧,分别与前两弧相交于m、n. (4)顺次连接a、b、n、c、m各点即近似作得所要求的正五边形.
2、 圆内接正五边形的画法如下: (1)以o为圆心,定长r为半径画圆,并作互相垂直的直径mn和 ap. (2)平分半径on,得ok=kn. (3)以 k为圆心,ka为半径画弧与 om交于 h, ah即为正五边形的边长. (4)以ah为弦长,在圆周上截得a、b、c、d、e各点,顺次连接这些点即得正五边形。
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