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椭圆
目录 ·定义
·标准方程
·公式
·相关性质
·历史


定义
椭圆是一种圆锥曲线(也有人叫圆锥截线的),现在高中教材上有两种定义:
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合(该定值大于两点间距离)(这两个定点也称为椭圆的焦点,焦点之间的距离叫做焦距);
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点不在定直线上,该常数为小于1的正数)(该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线)。这两个定义是等价的

标准方程
高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0,b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ

公式
椭圆的面积公式
   s=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
   或s=π(圆周率)×a×b/4(其中a,b分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(l)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
l = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率

相关性质
由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线。
例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。
设两点为f1、f2
对于截面上任意一点p,过p做圆柱的母线q1、q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于q1、q2
则pf1=pq1、pf2=pq2,所以pf1+pf2=q1q2
由定义1知:截面是一个椭圆,且以f1、f2为焦点
用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆

椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴,把椭圆转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明)

历史
关于圆锥截线的某些历史:圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。 euclid, archimedes, apollonius, pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以 apollonius 所著的八册《圆锥截线论》集其大成,可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究,乃是纯粹从几何学的观点,研讨和圆密切相关的这种曲线;它们的几何乃是圆的几何的自然推广,在当年这是一种纯理念的探索,并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交,kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道,乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破,它不但开创了天文学的新纪元,而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见,圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物,它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。  
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