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空集
目录 ·名词解释
·空集的性质
·空集的常见问题
·公理集合论
·空集的运算
·空集和 0
·空集的范畴论


名词解释
定义:不含任何元素集合成为空集。表示方法:用符号Φ表示


空集的性质
空集是一切集合的子集
对任意集合 a,空集是 a 的子集;
∀a: {} ⊆ a
对任意集合 a, 空集和 a 的并集为 a:
∀a: a ∪ {} = a
对任意集合 a, 空集和 a 的交集为空集:
∀a: a ∩ {} = {}
对任意集合 a, 空集和 a 的笛卡尔积为空集:
∀a: a × {} = {}
空集的唯一子集是空集本身:
∀a: a ⊆ {} ⇒ a = {}
空集的元素个数(即它的势)为零;特别的,空集是有限的:
|{}| = 0
集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。
考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为所有的有限集合是紧致的。
空集的闭包是空集。

空集的常见问题
空集不是无;它是内部没有元素的集合,而集合就是有。这通常是初学者的一个难点。将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助;袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。
有些人会想不通上述第一条性质,即空集是任意集合 a 的子集。按照子集的定义,这条性质是说 {} 的每个元素 x都属于 a。若这条性质不为真,那 {} 中至少有一个元素不在 a 中。由于 {} 中没有元素,也就没有 {} 的元素不属于 a 了,得到 {} 的每个元素都属于 a, 即 {} 是 a 的子集。

公理集合论
在诸如策梅罗-弗兰克尔集合论的公理集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。
使用分离公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若 a 是集合,则分离公理允许构造集合 b = {x in a | x ≠ x},它就可以被定义为空集。

空集的运算
空集(作为集合)上的运算也可能使人迷惑。(这是一种空运算。)例如:空集元素的和为 0,而它们的积为 1(见空积)。这可能看上去非常奇怪,空集中没有元素,他们是怎么相加和相乘的呢?最终,这些运算的结果更多被看成是运算的问题,而不是空集的。比如,可以注意到 0 是加法的单位元,而 1 是乘法的单位元。

空集和 0
根据定义,空集有 0 个元素,或者称其势为 0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数的集合论定义中,0 被定义为空集。

空集的范畴论
若 a 为集合,则恰好存在从 {} 到 a 的函数 f,即空函数。结果,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。
空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

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